金融时间序列分析-ARCH模型

一、ARCH模型背景

       金融市场又称资金市场，是资金融通市场。所谓资金融通，是指在经济运行过程中，资金供求双方运用各种金融工具调节资金盈余的活动，是所有金融交易的总称。在这些经济活动中，会产生大量的数据，这些数据带有鲜明的特点：随机波动性，时间特性、多样化程度低等特性，如下图所示

       上述数据称为是时间序列数据，它们呈现出相当的随机性，如何在实际中认识产生这些观测数据的随机机制，即如何建立数据生成模型；并且基于序列的历史数据，考虑其他相关因素，对序列未来的可能给出预测是金融时间序列分析的目的。同时对金融时间序列进行分析，对资产作价和投资风险评估具有重大参考价值，因此收到投资者和经济学家的广泛关注。

       传统计量经济学对时间序列数据做了两个假设

（1）     假设时间序列变量是从某个随机过程中随机抽取，并按时间排列而形成，因而一定存在一稳定趋势。

（2）     假定时间序列变量的波动幅度（方差）是固定的。

其中，AR模型是具有代表性的用来处理时间序列的统计学方法，认为时间序列数据之间具有线性关系，并且方差是固定不变的。模型用历史数据来预测当前数据，这明显不符合时间情况，比如公司的收益率的波动幅度是随时间变化的，而非常数，因此AR模型无法研究具有波动变化特性的时间序列数据。ARCH模型（Autoregressive conditional heteroskedasticity model，自回归条件异方差模型）是Engle1982年于《计量经济学》杂志上提出的，将条件方差建立为过去扰动的函数，给波动率（方差）建模提供了一个系统的框架，同时能够更好描述资产收益的尖峰厚尾及波动积聚性。ARCH模型迅速应用于金融时间序列分析领域，并根据各种需要改进模型，提出了GARCH模型（1986）、GARCH-M模型（1987）、EGARCH模型（1991）、门限GARCH模型（1994）等。2003年12月，鉴于罗伯特·恩格尔的ARCH理论对金融时间序列分析做出的巨大贡献，其被授予当年的诺贝尔经济学奖。

二、ARCH基本原理

       1. AR模型基本原理

              相关系数的范围是[-1, 1]，越接近0，表示线性相关性越弱，绝对值越接近1，表示线性相关性越强，正值表示正线性相关，负值表示负线性相关。注意，相关系数仅仅表示线性关系，其值为0仅代表没有线性关系，仍可能存在其他关系。

       平稳性是时间序列分析的基础（统计规律的不变性），弱平稳性则意味着数据的时间图显示时间序列数据在一个常数水平上下以相同幅度波动，可以对未来进行预测。对于非平稳时间序列，克莱夫·格兰杰解决了非平稳序列转换为平稳序列的问题。其基本思想是，单独看不同的时间序列变量可能是非平稳的，但是按照一定结构组合后的新的时间序列数据却可能是稳定。

       方差为常数，是无法描述实际的时间序列的，因此Engle提出了条件异方差模型。异方差是与同方差相对的，所谓同方差，是为了保证回归参数估计量具有良好的统计性质，经典线性回归模型的一个重要假定：总体回归函数中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差。如果这一假定不满足，即：随机误差项具有不同的方差，则称线性回归模型存在异方差性。

       2. ARCH模型基本原理

       核心：用模型来刻画资产收益率的条件方差（波动率）随时间变化的规律。

一般的ARCH建模过程：

（1）       通过检验数据的序列相关性建立一个均值方程，如果有必要，对收益率序列建立一个计量经济模型（如ARMA模型）来消除任何的线性依赖。

（2）       对均值方程的残差进行ARCH效应检验。（条件异方差的检验）

（3）       如果ARCH效应在统计上是显著的，则指定一个波动率模型，并对均值方程和波动率方程进行联合估计。

（4）       仔细地检验所拟合的模型，如有必要则对其进行改进。

三、ARCH优缺点及改进

       ARCH模型的优点：

       既考虑了观测数据在时间序列上的依存性，又考虑了波动随时间变化的特性，更符合实际情况。

       ARCH模型的缺点：

（1）       ARCH模型假定正的“扰动”和负的“扰动”对波动率有相同的影响，因为波动率依赖过去“扰动”的平方，可以从模型中看到。

（2）       该模型单纯地描述条件方差的行为，对引起变化的原因不提供解释。

（3）       ARCH模型给出的波动率预报值会偏高，因为它对收益率序列大的孤立的“扰动”反应缓慢。

改进的模型及其改进的地方：

GARCH—广义的GARCH模型，更有效地捕捉条件方差的动态特征。

EGARCH—允许模型中体现正的和负的资产收益率对波动影响的非对称效应。

GARCH-M—反映风险溢价现象。

门限GARCH—处理杠杆效应。

四、思考

       ARCH模型，同样也可以用来描述其他时间序列数据，同样在方差描述上具有很好的性能，并不局限于金融时间序列分析。

       另外，现有的金融时间序列分析模型是对交易数据进行的分析，而假设公司内部运营情况等都反映在交易数据层面上，这样的假设是粗犷的，如何将现金流量情况、资产负债情况、利润情况等财务数据与交易数据结合起来，给投资提供更为精准的建议，是个值得思考的问题。

参考文献

[1]      Ruey S. Tsay. 金融时间序列分析（第三版）[M]. 人民邮电出版社, 2012.

[2]      Jonathan D. Cryer, Kung-Sik Chan. 时间序列分析及应用（第二版）[M]. 机械工业出版社, 2011.

[3]      维基百科

[4]      张世英, 柯珂. ARCH 模型体系[J]. 系统工程学报, 2002, 17(3): 236-245.

[5]      R语言与金融数据分析.pdf. DATAGURU专业数据分析社区

附：2个为什么？

1.为什么研究收益率而不是价格？

收益率有很多种，粗略地公式为：收益率=利润/资金。

研究对象是收益率而非价格的原因主要有两个。

（1）       对投资者而言，资产收益率完全体现了该资产的投资机会，且与其投资规模无关，反映了其投资价值。

（2）       收益率序列比价格序列更容易处理，且具有更好的统计性质。

2.为什么研究对数收益率？

要先区分单利收益率和连续复利收益率。

投资者为什么更关心复利收益率，是因为自然对数的底数E揭示了单位时间内自然增长的极限规律，通过单利收益率可以来计算复利收益率，因此更关心对数收益率。这里取对数并非常规意义上理解取对数更方便计算，更深层次的含义是资本对增长极限的追求。

具体解释见下面的链接：

数学常数E的含义http://www.guokr.com/article/50264/。

连续复利收益率和单利收益率的关系http://wiki.mbalib.com/zh-tw/Continuously_compounded_rate_of_return。

于建民

2015.02.05